|
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. AB = √29, AD = 5, AA1 = 2.
Точка М лежит на отрезке ВС1, точка N лежит на отрезке BD, прямые AM и A1N пересекаются.
Определите тангенс угла между прямой АМ и плоскостью ADD1, если BN : ND = 2 : 3.
Т.к. прямые AM и A1N пересекаются, то через них можно провести плоскость (жёлтое сечение на рисунке).
При этом прямая КК1 окажется параллельной прямой АА1, и точка М лежит на пересечении КК1 и ВС1.
На нижнем основании ABCD образуются два подобных треугольника AND и KNB. Учитывая, что BN:ND = 2:3,
находим длину отрезка КВ, КВ = 10/3. KC = BC - KB = 5 - 10/3 = 5/3 (см. первый дополнительный рисунок).
Рассм. боковую грань СС1В1В. Диагональ ВС1 = √4+25 = √29 по т. Пифагора.
Треугольники С1МК1 и ВМК подобны с коэффициентом подобия 0,5. | Поэтому МВ = | 2 3 | ·C1B = | 2√29 3 |
Углом между прямой АМ и гранью ADD1А1 является угол между прямой и её проекцией на эту грань.
Перпендикуляр из т. М на грань ADD1А1 параллелен и равен АВ, т.е. ММ1 = √29. АМ1 - проекция АМ на плоскость ADD1А1.
Рассм. прямоугольный треугольник АМ1М и найдём тангенс угла МАМ1.
| tgα = | MM1 AM1 | = √29 : | 2√29 3 | = 1,5. |
Ответ: 1,5
Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 16807
|
