Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

К числу корней уравнения (p-2)x3 + x2 +

x p - 2

+ 1 = 0

прибавили число корней уравнения px² + (p+2)x + p - 1 = 0.
Найдите все значения р, при которых такая сумма равна р.

Так как первое уравнение является кубическим (ст коэфф. p - 2 ≠ 0),
то оно может иметь 1, 2 или 3 корня.
Второе уравнение при р ≠ 0 является квадратным (иначе - линейным).
Значит, оно может иметь 0, 1 или 2 корня.
Сумма этих чисел (а значит, по условию само р) может принимать значения
1, 2, 3, 4 или 5. Рассмотрим их.

При р = 4 и при р = 5 второе уравнение имеет отрицательный дискриминант,
т.е. корней у него нет. Но первое уравнение никак не может иметь 4 или 5 корней,
чтобы сумма получилась соответствующей.

При р = 3 второе уравнение имеет два различных корня (3х² + 5х + 2 = 0),
а первое - ровно один: х³ + х² + х + 1 = 0; (х + 1)(х² + 1) = 0; х = -1.
Сумма этих чисел равна р (2 + 1 = 3). Значит, число 3 удовлетворяет условию.

При р = 2 первое уравнение не имеет смысла.

При р = 1 второе уравнение снова имеет два решения (х² + 3х = 0),
и сумма корней не может быть равна единице.

Ответ: 3

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 23012