Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). Отрезки секущих и касательная образуют геометрическую прогрессию (вар. 42)

Точки А, В, С лежат на окружности радиуса 2 с центром О, а точка К - на прямой, касающейся
этой окружности в точке В, причем угол АКС равен 46°, а длины отрезков АК, ВК, СК
образуют возрастающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке).
а) докажите, что углы АСК и АОК равны;
б) найдите расстояние между точками А и С.



Для доказательства равенства углов нам не понадобятся, очевидно, численные данные.
Важно, что длины трёх синих отрезков на рисунке образуют геометрическую прогрессию.
Запишем это математически и сделаем вывод из составленной пропорции:





Это равенство явно напоминает известное свойство секущих и касательных к окружности.
КВ - отрезок касательной, КА - отрезок секущей. Продлим его и получим отрезок KF.





Из последних двух равенств следует равенство двух отрезков КС и КF.



Рассмотрим отрезки КР и КС другой секущей и будем рассуждать так же:



Получаем, что КА = КР. А учитывая, что КС = КF, делаем вывод: РС = АF.
На самом деле из трёх пар равных отрезков нам важна одна: КА = КР.



Закрашенные треугольники равны по трём сторонам. И значит, ∠АОК = ∠РОК.
Центральный угол АОР и вписанный угол АСР опираются на одну дугу АР.



∠АОР = 2·∠АСР, а ∠АОК = 0,5·∠АОР = ∠АСК, что и требовалось доказать.


Во второй части задачи, зная радиус и угол К, требуется найти длину отрезка АС.
Интересно, что изменяя положение точки К (но сохраняя равенство КС и КF),
можно заметить, что расстояние между точками А и С остаётся неизменным.



В чём тут секрет? Разгадав его, мы и решим задачу. Прежде чем читать, подумайте!
Так как треугольник СКF равнобедренный, то угол К однозначно определяет угол F.



А радиус окружности и вписанный угол задают хорду, на которую угол опирается.



Дело всё в том, что треугольник АСF вписан в окружность, и по теореме синусов



Отсюда и найдём, что АС = 4·sin67°.

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 10123

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): светлана
Дата: 2013-09-25

Какая Вы умница!

Комментарий добавил(а): VictorSh
Дата: 2013-09-18

Спасибо,Ольга Игоревна! Все просто замечательно!!! Отличное решение!

Комментарий добавил(а): Радиф Галиевич
Дата: 2013-09-18

Гениально!

Комментарий добавил(а): Тамара Александровна
Дата: 2013-09-19

Здорово! Очень красивое решение! Большое спасибо, Ольга Игоревна!

Комментарий добавил(а): Флюра
Дата: 2013-09-21

Ольга Игоревна! не голова, а дом советов!! ПРОСТО, ДОСТУПНО, ОРИГИНАЛЬНО!!! Спасибо большое! Мне показалось, что эта задача проще, чем С2!

Комментарий добавил(а): Елена
Дата: 2013-09-23

Ольга Игоревна, огромное спасибо! Все Ваши решения прекрасны.

Комментарий добавил(а): Нина Федоровна
Дата: 2013-11-10

Спасибо за решение! Очень красиво и четко изложено!

Комментарий добавил(а): Михаил Н.
Дата: 2015-04-06

Ольга Игоревна. "Разгадывать секрет" для того, чтобы решить эту задачу, как утверждаете Вы, вовсе не требуется. Тот факт, что расстояние между А и С не зависит от положения точка К при условии равенства КС и KF, интересный, но для данной задачи он не нужен и только усложняет процесс решения. Треугольник ACF вписанный, F известный, больше ничего не надо.

Добавить Ваш комментарий:
Яндекс.Метрика