|
Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7... выделить арифметическую прогрессию
а) длиной 4;
б) длиной 5;
в) длиной n, где n - любое натуральное число?
Возьмём парочку произвольных членов последовательности и посчитаем их разность.
  })
Теперь продолжим начатую арифметическую прогрессию с найденной разностью:
}) }) })
Если первые два числа привести к тому же знаменателю m(m + k), то получим:
}) })
Чтобы прогрессия состояла из трёх членов данной последовательности, третья дробь
должна сократиться, и при этом в числителе должна оказаться единица, т.е. знаменатель m(m + k) должен поделиться на числитель (m - k).Это произойдёт, например, при m = 2k. Получим прогрессию:
  
Подставляя различные натуральные k, будем получать разные примеры прогрессий.
Чтобы в четвёртом члене прогрессии при сокращении оказалась единица,знаменатель m(m + k) должен поделиться на числитель (m - 2k).Это произойдёт, например, при m = 3k:
 
Потребуем теперь, чтобы сократилась пятая дробь. Возьмём m = 4k. Наша прогрессия:
   
Чтобы во всех числителях оказалась единица (третья дробь подводит), возьмём k = 3:
    
Присмотримся внимательно к прогрессии, найденной в самом начале решения:
}) })
Числители образуют арифметическую прогрессию, знаменатели равны. Возьмём в качестве знаменателя n!, а в качестве числителей 1, 2, 3,....
        ...  Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 9968
|
