Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

15(C3). Система неравенств с модулями и степенями (вар. 53)

Решите систему неравенств
C3. Система неравенств с модулями и степенями (вар. 53)

Решим сначала показательное неравенство с помощью разложения на множители.

${3^{(x + 2)^2} + \frac{1}{27}} \leq {3^{x^2 - 3} + 9^{2x + 2}}$

Разнесём слагаемые по разным частям, чтобы удобнее было их сгруппировать.

${3^{(x + 2)^2}-3^{x^2 - 3}} \leq {9^{2x + 2}-3^{-3}}$

${3^{x^2}(3^{4x+4}-3^{-3})} \leq {3^{4x + 4}-3^{-3}}$

$3^{x^2}(3^{4x+4}-3^{-3})-(3^{4x + 4}-3^{-3})\leq{0}$

$(3^{4x+4}-3^{-3})(3^{x^2}-1)\leq{0}$

Второй множитель всегда неотрицателен, так как х² ≥ 0 и значит, 3^х² ≥ 3⁰ = 1.
х = 0 неравенству удовлетворяет, а при х ≠ 0 второй множитель положителен.
Поделим неравенство на положительный множитель (при х ≠ 0) и решим его.

$3^{4x+4}-3^{-3}\leq{0}$

${3^{4x+4}}\leq{3^{-3}}$

${4x+4}\leq{-3}$

${4x}\leq{-7}$

$x\leq{-\frac{7}{4}}$

Таким образом, первому неравенству удовлетворяют х = 0 и х ≤ -1,75.
Решим второе неравенство на полученном множестве решений первого.

$|x-1|\geq{\frac{4|1-x|}{4-|x|}}$

$|x-1|\geq{\frac{4|x-1|}{4-|x|}}$

Заметим, что |x - 1| > 0, если х ≠ 1 (что на нашем множестве выполнено).
Поэтому смело поделим обе части неравенства на |x - 1| > 0.

$1\geq{\frac{4}{4-|x|}}$

Все полученные решения первого неравенства неположительны и |x| = -х.

$1\geq{\frac{4}{4+x}}$

${1-\frac{4}{4+x}}\geq{0}$

${\frac{x}{x+4}}\geq{0}$

х = 0 неравенству удовлетворяет, а при х ≠ 0 числитель отрицателен.
Значит, должен быть отрицателен и знаменатель: х + 4 < 0, x < -4.
Полученный луч входит в множество решений первого неравенства.

Ответ: (-∞; -4); 0