Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Найти все значения параметра а, при которых уравнение
х - 2 = √-2(а + 2)х + 2       имеет единственное решение.

Заменим параметр, и уравнение станет выглядеть попроще.
√ kх + 2 = х - 2
При х ≥ 2 полученное уравнение равносильно следующему:
kx + 2 = (x - 2)²
Запишем данное квадратное уравнение в стандартном виде:
x² - (k + 4)x + 2 = 0
Именно оно должно иметь единственное решение при х ≥ 2.
Возможны три различных варианта, которые нас устраивают:

1) Точка х = 2 находится строго между корнями уравнения.



2) х = 2 является корнем уравнения, второй корень левее.



3) Уравнение имеет единственный корень, и он не меньше 2.



1) Чтобы точка х = 2 находилась строго между корнями уравнения,
должно выполняться условие f(2) < 0, где f(x) = x² - (k + 4)x + 2.
Получаем f(2) = 2² - (k + 4)·2 + 2 = 6 - 2(k + 4) < 0, т.е. k > -1.

2) х = 2 является корнем уравнения при k = -1. При этом уравнение
выглядит так: x² - 3x + 2 = 0 и нас вполне устраивает (корни 1 и 2).

3) Приравняем дискриминант уравнения x² - (k + 4)x + 2 = 0 нулю.
D = k² + 8k + 16 - 8 = 0,        k² + 8k + 8 = 0,        k = -4 ± 2√2.
При каждом значении k найдём единственный корень уравнения.



В каждом случае корень уравнения меньше двух, нас не устраивает.
В итоге объединяем результаты первых двух случаев: k ≥ -1.
Вернёмся к старому параметру: -2(а + 2) ≥ -1,      а ≤ -1,5

Ответ: (-∞ -1,5]

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 10627