Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

а₁, а₂, а₃ - возрастающая последовательность натуральных чисел.
Известно, что а_аk = 3k для любого k. Найти
а) а₁₀₀;
б) а₁₉₈₃.

Первый уровень рассуждений.
Понять бы, как устроена последовательность, ни один член которой не задан явно.
Равенство а_а1 = 3·1 = 3 выполняется всегда. Номер этого члена а₁ не больше трёх.
Иначе говоря, тройка в такой последовательности имеет номер один, два или три.
Если а₁ = 3, то а₃ = 3·1 = 3. Если а₃ = 3, то а₃ = 3·3 = 9. Оба случая невозможны.
Итак, тройка имеет в последовательности номер два. Поищем остальные её члены.
============================================
Если а₁ = 1, то а₁ = 3·1 = 3 Но 3 ≠ 1. Случай невозможен. Значит, а₁ = 2.
а₂ = 3,     а₃ = а_а2 = 3·2 = 6,     а₆ = а_а3 = 3·3 = 9,     а₉ = а_а6 = 3·6 = 18.
Т.к. последовательность возрастает, то восстанавливаем: а₄ = 7,  а₅ = 8.
Идём вперёд: а₇ = а_а4 = 3·4 = 12,    а₈ = а_а5 = 3·5 = 15,    а₁₂ = 3·7 = 21.
И снова восстанавливаем пропущенные: а₁₀ = 19,  а₁₁ = 20. Итак, имеем:
2, 3, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 18, 19, 20, 21 - найдены первые двенадцать чисел.
============================================
Второй уровень рассуждений.
Удобнее было бы искать не сотый, а девяносто девятый член последовательности.
Для этого узнаем, под каким номером в последовательности стоит само число 99.
А оно стоит под номером, который равен, в свою очередь, а₃₃ , так как 99:3 = 33.
Ну а для того, чтобы найти а₃₃, надо (рассуждая аналогично) найти а₁₁. Поехали:
а₁₁ = 20
а₂₀ = 3·11 = 33
а₃₃ = 3·20 = 60
а₆₀ = 3·33 = 99
а₉₉ = 3·60 = 180
До сотого числа мы немного недопрыгали, поэтому начнём теперь с двенадцатого:
а₁₂ = 21
а₂₁ = 3·12 = 36
а₃₆ = 3·21 = 63
а₆₃ = 3·36 = 108
а₁₀₈ = 3·63 = 189
Пропущенные члены нашей последовательности восстанавливаются однозначно:
180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189. Найден не только сотый, но и...
============================================
Третий уровень рассуждений.
Теперь, чтобы добраться до а₁₉₈₃, надо придумать более эффективный способ.
Заметим, что если а_n = p, то а_p = 3n и а_3n = 3p. Отсюда получаем: а_3n = 3·а_n.
Из этого равенства сразу следует, что а₁₉₈₃ = 3·а₆₆₁. Будем искать а₆₆₁.

Т.к. а₁ = 2, то а₃ = 3·а₁ = 3·2, а₉ = 3·а₃ = 3·3·2, а₂₇ = 3·а₉ = 3·3·3·2 = 27·2
Рассуждая аналогично, мы можем найти а₈₁ = 81·2   и   а₂₄₃ = 243·2 = 486.

Проделаем такой же путь, начиная со второго члена, а₂ = 3 (и это хорошо).
а₆ = 3·а₂ = 3·3, а₁₈ = а_2·3² = 3·а₆ = 3·3·3 = 3³, а₅₄ = а_2·3³ = 3·3·3·3 = 3⁴.
Рассуждая аналогично, находим   а_2·243 = а_2·3⁵ = а₄₈₆ = а_2·3⁵ = 3⁶ = 729.
============================================
Итак, у нас есть а₂₄₃ = 486 и а₄₈₆ = 729. Заметим, что 729 - 486 = 243.
Последовательность между числами под номерами 243 и 486 выглядит так:
а₂₄₃ = 486
а₂₄₄ = 487
а₂₄₅ = 488
а₂₄₆ = 489
...
а₄₈₄ = 727
а₄₈₅ = 728
а₄₈₆ = 729
Эта арифметическая прогрессия задаётся простой формулой а_n = n + 243
В этой прогрессии есть все числа от 487 до 661. Дальше действуем так:
а₄₈₇ = а_а244 = 3·244 = 3·(487 - 243)
а₄₈₈ = а_а245 = 3·245 = 3·(488 - 243)
а₄₈₉ = а_а246 = 3·246 = 3·(489 - 243)
...
а₆₆₁ = 3·(661 - 243) = 3·418 = 1254

Наша эпопея подходит к завершению: а₁₉₈₃ = 3·а₆₆₁ = 3·1254 = 3762.

Ответ: а) 181; б) 3762.

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 7144