Найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение
имеет по крайней мере два корня, один из которых неотрицателен,а другой не превосходит -1.
Уравнение выглядит довольно страшно. Сделаем некоторые замены.
((2x + a)·b - 2(x2 + x))·c = 0
Преобразуем немного выражение в скобках, которое зависит от х.
с·(2bx + ab - 2x2 - 2x) = 0
Не правда ли, в таком виде уравнение смотрится намного проще?
с·(2x2 - 2(b - 1)x - ab) = 0
Идея решения. 1) Если с = 0 (и при этом сохраняет смысл сложный параметр b),то переменная х может принимать любые действительные значения, в том числе и те, о которых говорится в условии. Нас это устраивает.2)
Если с ≠ 0 и все параметры имеют смысл, то квадратный трёхчлендолжен иметь два корня х1 и х2, при этом х1 ≤ -1 и х2 ≥ 0.=============================================
Найдём, при каких значениях а имеют смысл параметры b и с:
22а - 4а2 - 24 ≥ 0 36а - 9а2 > 0
2а2 - 11а + 12 ≤ 0 а2 - 4а < 0
1,5 ≤ а ≤ 4 0 < а < 4
Вывод: 1,5 ≤ а < 4.=============================================
Итак, рассмотрим первый случай и приравняем коэффициент с нулю.
Убедиться, что не теряет смысл параметр b, можно как угодно.=============================================
Рассмотрим теперь второй случай и потребуем, чтобы х1 ≤ -1 и х2 ≥ 0.
Это означает, что отрезок [-1; 0] должен находиться между корнями.А это значит, что функция f(x) = 2x2 - 2(b - 1)x - ab на отрезке [-1; 0]должна быть неположительной. Для этого потребуем одновременное выполнение двух неравенств: f(-1) ≤ 0 и f(0) ≤ 0.-----------------------------------------------
f(-1) = 2 + 2(b - 1) - ab = 2b - ab = b(2 - a) ≤ 0
f(0) = -ab ≤ 0; ab ≥ 0-----------------------------------------------
Так как 1,5 ≤ а < 4, то рассматриваемые значения а положительны.
Параметр b = √22а - 4а2 - 24 неотрицателен на области определения.Возможны варианты (при условии сохранения смысла параметров):
а) b = 0 б) а ≥ 2
b = 0 при а = 1,5 и а = 4, но при а = 4 теряет смысл логарифм.
Условие а ≥ 2 пересечём с условием 1,5 ≤ а < 4, получим: 2 ≤ а < 4.Заметим, что число 7/3 в данный промежуток входит.Ответ: 1,5; 5/3; [2; 4) Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 6992
|