|
В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел
каждое делится хотя бы на одно из чисел 1005 и 1006, но ни одно не делится на 97. Кроме того, каждые два соседних числа отличаются не более, чем на k. При каком наименьшем k такое возможно?
Наша задача - уложить числа в последовательности так, чтобы наибольшеерасстояние (k) между соседними числами было бы как можно меньше.======================================Если бы речь не шла о числах 1006 и 97, то мы бы построили обыкновенную арифметическую прогрессию: 1005, 2010, 3015, 4020, 5025, 6030, 7035, ...Разность между соседними числами была бы постоянна и равна k = 1005.======================================Если к этому условию добавить возможность для чисел делиться и на 1006,то наибольшую "дырку" нам, возможно, удалось бы (???) уменьшить до 1004:
1005, 1006, 2010, 2012, 3015, 3018, 4020, 4024, 5025, 5030, 6030, 6042,..."Новые" числа располагаются между старыми, удаляясь от левого соседа и приближаясь к правому на 1 с каждым новым шагом. k = 2010 - 1006.Но не всё так просто. В какой-то момент дырку 1005 уменьшить не удастся!Между числами 1005·1006 и 1005·1007 вставить нечего. И здесь k = 1005.
======================================Если от чисел требовалось бы делиться только на 1005 и не делиться на 97,то получилась бы та же почти арифметическая прогрессия, как и выше.
Но через каждые 97 шагов дырка бы удваивалась и была бы равна 2010.
1005, 2·1005, 3·1005, ..., 95·1005, 96·1005, 98·1005, 99·1005, 100·1005, ...======================================Добавив возможность делимости на 1006 попробуем эту дырку уменьшить, вставив между числами 96·1005 и 98·1005 "новое" число, кратное 1006:96·1005, 96·1006, 98·1005. Между числом 96·1006 и левым соседом 96·1005 расстояние равно 96.Найдём расстояние от числа 96·1006 до 98·1005.
98·1005 - 96·1006 = 98·1005 - 96·1005 - 96 = 2·1005 - 96 = 2010 - 96.На первом шаге наибольшее расстояние 2010 уменьшилось до 1914.======================================Но на любом ли шаге в дырку длиной 2010 удастся вставить число? Нет.p = (97·1006)·1005 - число, которое делится и на 1005, и на 1006, и на 97.Это запрещённое число. В арифметической прогрессии с разностью 1005его окружают числа а = (97·1006 - 1)·1005 и b = (97·1006 + 1)·1005.
Расстояние между ними равно 2010. Попробуем вставить между ними числа, кратные 1006, чтобы уменьшить разрыв. Для этого число а запишем так:---------------------------------------------------а = (97·1006 - 1)·1005 = 97·1006·1005 - 1006 + 1 = (97·1005 - 1)·1006 + 1---------------------------------------------------Число (97·1005 - 1)·1006 делится на 1006, но меньше а. Следующее число (97·1005)·1006 делится на 1006, больше а, но делится на 97. Следующееза ним число, кратное 1006, это (97·1005 + 1)·1006. Спасёт ли нас оно?Увы, не спасёт. Это число на единичку больше правого соседа - числа b.---------------------------------------------------(97·1005 + 1)·1006 - (97·1006 + 1)·1005 = 1006 - 1005 = 1.---------------------------------------------------Таким образом, наибольшее расстояние 2010 атаку выдержало.Ответ: 2010 Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 5358
|
