Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

При каких значениях параметра р уравнение
(х - р)²(р(х - р)² - р - 1) = -1
имеет больше положительных корней, чем отрицательных?

Для начала раскроем скобки и расположим слагаемые по убыванию степени:
р(х - р)⁴ - (р + 1)(х - р)² + 1 = 0
Случай, когда старший коэффициент р равен нулю, рассмотрим отдельно.
При этом уравнения принимает вид х² = 1 и условию не удовлетворяет.
===========================================
Если же р ≠ 0, уравнение является квадратным относительно t = (х - р)².
рt² - (р + 1)t + 1 = 0
Корни можно искать с помощью теоремы Виета, поделив уравнение на р:



А можно найти предварительно дискриминант D = (p + 1)² - 4p = (p - 1)².



              .
===========================================
При р < 0 нас устраивает лишь t = 1 (второй корень отрицателен).
(х - р)² = 1
(х - р) = ±1
х = р ± 1
Корень (р - 1) отрицателен, поэтому условие задачи не выполняется.
===========================================
При p > 0 оба корня t₁ и t₂ квадратного уравнения положительны.
При этом биквадратное уравнение имеет четыре корня. Найдём их.
Одна пара у нас уже есть х = р ± 1. Ищем вторую пару:







Очевидно, два бОльших корня из каждой пары положительны, т.к. p > 0.
Оба меньших корня меняют свой знак в точке p = 1. Проверьте это сами.
При p > 1 положительны все четыре корня, условие задачи выполняется.
При p = 1 получаем корни х = 0 и х = 2, условие снова выполняется.

Ответ: р ≥ 1

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 9104