а) Скупой рыцарь хранит золотые монеты в шести сундуках. Однажды, пересчитывая их, он заметил, что если открыть любые два сундука, то можно разложить лежащие в них монеты поровну в эти два сундука. Еще он заметил, что если открыть любые 3, 4 или 5 сундуков, то тоже можно переложить лежащие в них монеты таким образом, что во всех открытых сундуках станет поровну монет. Тут ему почудился стук в дверь, и скряга так и не узнал, можно ли разложить все монеты поровну по всем шести сундукам. Можно ли, не заглядывая в заветные сундуки, дать точный ответ на этот вопрос?
б) А если сундуков было восемь, а Скупой рыцарь мог разложить поровну монеты, лежащие в любых 2, 3, 4, 5, 6 или 7 сундуках?
Попробуем порассуждать для шести, для восьми и т.д. сундуков одновременно.Утверждение номер один звучит так: в каждых двух сундуках число монет чётно.Означает ли это, что общая сумма монет во всех сундуках чётна? Не означает.Например, уже для трёх или пяти сундуков сумма может оказаться и нечётной. А для шести сундуков (да и для восьми) всё проще - их можно разбить на пары. Утверждение номер два: в каждых трёх сундуках число монет делится на три.Может, общая сумма всех монет во всех сундуках кратна трём? Конечно, нет. И для восьми сундуков это неверно. А шесть сундуков разобьём на две тройки.
В каждой тройке число монет кратно трём, значит, и в двух тройках кратно.Этих двух условий уже достаточно, чтобы общее число монет делилось на 6.================================================
Чтобы опровергнуть утверждение пункта б) для восьми сундуков (интуиция говорит
о его неверности), надо привести контрпример. Как это сделать? Начнём с малого.Пусть сундуков 4. В каждой паре число монет чётно, в каждой тройке кратно трём.И что же? Делится ли общее число монет на четыре? Нет, посмотрите на раскладку.  
Во все сундуки положили по одной монете, а в последний - семь, это число при делении и на 2, и на 3 даёт в остатке единицу. Проверьте все условия сами!
В случае с пятью сундуками и теми же условиями (делимости на 2, 3, 4) положим
в последний сундук 25 монет. Как получить это число? 25 = 2·3·4 + 1. Проверим:25 + 1 делится на 225 + 1 + 1 делится на 325 + 1 + 1 + 1 делится на 425 + 1 + 1 + 1 + 1 не делится на 5.
Вы, наверное, уже понимаете, что делать с семью сундуками? А с восемью?
Как догадаться, что в последний сундук надо положить (2·5·6·7 + 1) монету?
Итак, в семи сундуках у нас по одной монете. Число монет в восьмом должно:
--- в сумме с единицей делиться на два--- в сумме с двойкой делиться на три--- в сумме с тройкой делиться на четыре--- в сумме с четвёркой делиться на пять--- в сумме с пятёркой делиться на шесть--- в сумме с шестёркой делиться на семь
Или по-другому: число должно давать при делении на 2; 3; 4; 5; 6; 7 остаток 1.Возьмём, например, наименьшее общее кратное 2; 3; 4; 5; 6; 7 плюс единица.Таким образом, мы получим число монет в восьмом сундуке (2·5·6·7 + 1) = 421.421 + 1 делится на 2421 + 1 + 1 делится на 3421 + 1 + 1 + 1 делится на 4421 + 1 + 1 + 1 + 1 делится на 5.421 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 делится на 6.421 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 делится на 7421 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 не делится на 8.Ответ: да, нет Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 7864
|