Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно одно решение?

Заменим правую часть одной буквой b = (a - 1)(a + 2) и сдвинем на 1 неизвестную: t = х - 1.



Уравнение определено при t ≤ -2 и t > 2. В каждом случае внесём множитель под знак корня.
Учтём, что m√n=√nm² при m ≥ 0 и m√n=-√nm² при m ≤ 0. Заменим k = √(t - 2)(t + 2), k ≥ 0.

                  

                       

Заметим: корни одного из полученных квадратных уравнений противоположны корням другого.
Следовательно, при положительном дискриминанте суммарное число неотрицательных корней
двух уравнений окажется не меньше, чем два. Но для каждого неотрицательного корня k
найдётся корень исходного уравнения t (а значит, и х), и условие задачи не выполнится.
===========================================
Объяснение. Пусть с - неотрицательный корень первого уравнения, тогда имеем
√(t - 2)(t + 2) = с.
(t - 2)(t + 2) = с²
t² = с² + 4 ≥ 4
|t| ≥ 2 и меньший корень, очевидно, не больше -2, т.е. принадлежит левому лучу.
Аналогично: если с - неотрицательный корень второго уравнения, то
больший корень t больше двух, т.е. принадлежит второму лучу.
===========================================
Итак, положительный дискриминант нас не устраивает. Отрицательный тоже.
А если дискриминант равен нулю, то неотрицательный корень один k = 1,5.
Это корень первого уравнения. t² = 1,5² + 4 = 6,25. Учитывая, что t ≤ -2,
получаем t = -2,5, х = -1,5 - единственный корень исходного уравнения.
===========================================
Осталось найти условие, при котором дискриминант равен нулю:
D = 9 + 4b = 0
b = -2,25
(a - 1)(a + 2) = -2,25
a² + a - 2 = -2,25
a² + a + 0,25 = 0
4a² + 4a + 1 = 0
(2a + 1)² = 0
a = -0,5

Ответ: -0,5

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 12353