14(C2). Сечение правильной четырёхугольной пирамиды и отношение объёмов (вар. 82)
Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. На продолжении ребра CD взята точка K так, что KD : KC = 3 : 4. На ребре SC взята точка L так, что SL : LC = 2 : 1.
а) Постройте плоскость, проходящую точки K, B и L;
б) В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?1) В плоскости DSC пересекаем прямые KL и SD в точке Р.2) В плоскости АВС пересекаем прямые ВК и АD в точке Е.3) Соединяя попарно точки, получаем сечение EPLB.
Идея решения. Разрежем сечением BSD целую пирамиду на две половинки.
Найдём отношение объёмов нижних частей к половинкам целой пирамиды.
а) Нижняя часть левой половины представляет из себя тоже пирамидку.Меньшее основание BPD - часть большего BSD. Высоты обеих пирамидперпендикулярны пр. BD, т.к. плоскости ABD и SBD перпендикулярны.
Найдя отношение площадей оснований и отношение высот, а затем перемножив их, мы получим отношение объёмов пирамид.
б) На правом рисунке пирамиду представляет из себя верхняя часть.
Меньшее основание BSP - часть большего BSD. Действуя аналогично,получим отношение объёмов пирамид, затем вычтем его из единицы.===========================================
Отрезок ВР делит площадь треугольника BSD в том же отношении, что и точка Р делит отрезок SD. Найдём положение точки Р на SD,используя метод отношения площадей различных треугольников.
SSKL = 2·SCKL, поэтому SKSP = 2·SKCP = 8b. Получаем, что SP : PD = 8 : 3Возвращаясь к диагональному сечению пирамиды, имеем SBSP : SBPD = 8 : 3.Займёмся левой половинкой основной пирамиды и её нижней частью. Теперь займёмся правой половинкой, её верхней, а затем и нижней частью: Сложим полученные дроби и найдём, какую часть всей пирамиды составляет нижний многогранник, лежащий под построенным сечением:Ответ: 95 : 169