Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

14(C2). Сечение правильной четырёхугольной пирамиды и отношение объёмов (вар. 82)

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S.
На продолжении ребра CD взята точка K так, что KD : KC = 3 : 4.
На ребре SC взята точка L так, что SL : LC = 2 : 1.
а) Постройте плоскость, проходящую точки K, B и L;
б) В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?

16(C2). Сечение правильной четырёхугольной пирамиды и отношение объёмов

1) В плоскости DSC пересекаем прямые KL и SD в точке Р.
2) В плоскости АВС пересекаем прямые ВК и АD в точке Е.
3) Соединяя попарно точки, получаем сечение EPLB.

Идея решения. Разрежем сечением BSD целую пирамиду на две половинки.

16(C2). Сечение правильной четырёхугольной пирамиды и отношение объёмов

Найдём отношение объёмов нижних частей к половинкам целой пирамиды.

а) Нижняя часть левой половины представляет из себя тоже пирамидку.
Меньшее основание BPD - часть большего BSD. Высоты обеих пирамид
перпендикулярны пр. BD, т.к. плоскости ABD и SBD перпендикулярны.

Найдя отношение площадей оснований и отношение высот, а затем
перемножив их, мы получим отношение объёмов пирамид.

б) На правом рисунке пирамиду представляет из себя верхняя часть.
Меньшее основание BSP - часть большего BSD. Действуя аналогично,
получим отношение объёмов пирамид, затем вычтем его из единицы.

===========================================

Отрезок ВР делит площадь треугольника BSD в том же отношении,
что и точка Р делит отрезок SD. Найдём положение точки Р на SD,
используя метод отношения площадей различных треугольников.

16(C2). Сечение правильной четырёхугольной пирамиды и отношение объёмов

S_SKL = 2·S_CKL, поэтому S_KSP = 2·S_KCP = 8b. Получаем, что SP : PD = 8 : 3

Возвращаясь к диагональному сечению пирамиды, имеем S_BSP : S_BPD = 8 : 3.

Займёмся левой половинкой основной пирамиды и её нижней частью.

$\frac{S_{BPD}}{S_{BSD}} = \frac{3}{11}$

$\frac{r(E, BSD)}{r(A, BSD)}= \frac{3}{4}$

$\frac{V_{EBPD}}{V_{ABSD}} = {\frac{3}{11}}\cdot{\frac{3}{4}}$

$\frac{V_{EBPD}}{V_{ABSD}} = \frac{9}{44}$

$\frac{V_{EBPD}}{V_{SABCD}} = \frac{9}{88}$

Теперь займёмся правой половинкой, её верхней, а затем и нижней частью:

$\frac{S_{BSP}}{S_{BSD}} = \frac{8}{11}$

$\frac{r(L, BSD)}{r(C, BSD)}= \frac{2}{3}$

$\frac{V_{LBSP}}{V_{CBSD}} = {\frac{8}{11}}\cdot{\frac{2}{3}}$

$\frac{V_{LBSP}}{V_{CBSD}} = \frac{16}{33}$

$\frac{V_{BDCPL}}{V_{CBSD}} = \frac{17}{33}$

$\frac{V_{BDCPL}}{V_{SABCD}} = \frac{17}{66}$

Сложим полученные дроби и найдём, какую часть всей пирамиды составляет
нижний многогранник, лежащий под построенным сечением:

$\frac{9}{88}+\frac{17}{66}=\frac{9}{4\cdot22}+\frac{17}{3\cdot22}=\frac{9\cdot3+17\cdot4}{4\cdot3\cdot22}=\frac{95}{264}$

Ответ: 95 : 169