Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

17. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей на пять лет под 50% годовых (вар. 83)

В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого
из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик
дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму.
К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что
размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%.
Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

50% годовых означает, что каждый год сумма на счету вкладчика увеличивается в 1,5 раза.
Будем рассуждать совсем просто. Если вкладчик ничего бы не добавлял к первоначальной
сумме, то через год на его счету было бы 3900·1,5, через два года - 3900·1,5² и так далее.

В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых

Первая добавка х руб. была внесена через год. И эта добавка начала жить своей жизнью,
находясь под воздействием тех же процентов и принося вкладчику дополнительный доход.

16(C2). В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых

Вкладчику это понравилось, и он стал повторять процесс (вносить х рублей) каждый год.

Через пять лет вкладчик забрал все деньги из последнего столбика. Мы их тоже заберём.
Посчитаем, какой доход принесли все четыре добавки. Для этого вынесем х за скобку
и вычислим сумму геометрической прогрессии, в которой b = 1,5 и q = 1,5:

$x(1,5+1,5^2+1,5^3+1,5^4)=\frac{x\cdot{1,5}\cdot{(1,5^4-1)}}{1,5-1}={3x}\cdot{(1,5^4-1)}=\frac{{3x(3^4-2^4)}}{2^4}=\frac{{{3x}\cdot65}}{2^4}$

Известно, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%.
Это значит, что он стал составлять 825% от начального, т.е. увеличился в 8,25 раз.
Сумма всех слагаемых последнего столбика в 8,25 раз больше, чем 3900 тыс.руб.:

$3900\cdot{1,5^5}+\frac{{{3x}\cdot65}}{2^4}=3900\cdot{8,25}$

$\frac{{{3x}\cdot65}}{2^4}=3900\cdot{8,25}-3900\cdot{1,5^5}$

$\frac{{{x}\cdot65}}{2^4}=1300\cdot({\frac{33}{4}-\frac{3^5}{2^5}})$

$\frac{x}{2^4}=20\cdot({\frac{33}{4}-\frac{3^5}{2^5}})$

$\frac{x}{2^4}=10\cdot(\frac{33}{2}-\frac{3^5}{2^4})$

$x=10\cdot(33\cdot{2^3}-3^5)$

$x=10\cdot3(11\cdot{2^3}-3^4)$

$x=10\cdot3\cdot7$

$x=210$

Ответ: 210 тысяч рублей