18(C5). При каких значениях параметра а неравенство верно при любом х (вар. 83)?
При каких значениях параметра а неравенство верно при любом х?a3x4 + 6a2x2 - x + 9a + 3 ≥ 0
Неравенство четвёртой степени надо бы преобразовать, прежде чем исследовать.Коэффициенты 1, 6 и 9 наводят на мысль о полном квадрате. Получится? Да!a3x4 + 6a2x2 + 9a ≥ х - 3а(a2x4 + 6ax2 + 9) ≥ х - 3а(ax2 + 3)2 ≥ х - 3
Заметим сразу, что если а ≤ 0, то левая часть неположительна. Сходу находится значение х (например, 8), при котором неравенство неверно ни при каком а ≤ 0. Это значит, что мы будем рассматривать только а > 0.
При а > 0 левая часть положительна, и любое х ≤ 3 неравенству удовлетворяет.Для этих х проблем не возникнет, поэтому рассмотрим х > 3 или хотя бы х > 0.===========================
А теперь очень долго и очень пристально смотрите на последнее неравенство.Через некоторое время вам откроется его секрет. Не прокручивайте вниз!
Обратите внимание на процесс, который происходит в скобке. Некто х возводится в квадрат, результат умножается на а, и к новому результату прибавляется три.
Взгляните на саму скобку (результат процесса): она тоже возводится в квадрат, квадрат опять умножается на а. Осталось только к результату прибавить три.Перепишем неравенство и получим полный процесс - сложную функцию:а(ax2 + 3)2 + 3 ≥ хОбозначим саму функцию f(x):f(x) = ax2 + 3Неравенство перепишется так:f(f(x)) ≥ х
Такое неравенство замечательно тем, что в случае возрастающей функции f(x)оно равносильно более компактному неравенству f(х) ≥ х
При а > 0 и х > 0 (а мы рассматриваем только такие) наша функция возрастает, а значит, исходное неравенство равносильно квадратному неравенствуax2 + 3 ≥ x===========================
Ну а уж ответить на вопрос, при каком положительном а получившееся квадратное неравенство верно при любом значении х, может любой уважающий себя школьник.Разумеется, дискриминант квадратного трёхчлена должен быть неположительным.Дальше - сами...
Пример чудесен, но для какого он школьника придуман???
Комментарий добавил(а): Дмитрий (math-mentor) Дата: 2014-09-17
Спасибо, Вам. Очень интересное решение. При этом неравенство с полным квадратом в левой части (3 строка решения) можно рассмотреть и под другим углом, заметив, что слева и справа стоят обратные функции, точка касания которых лежит на прямой Y=X и мы придем к такому же компактному неравенству в конце.
Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш Дата: 2014-09-17
