Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

До окончания возможности скачать (откройте вкладку "Записи курсов")

18(C5). Найти все а, при которых уравнение имеет единственное решение (вар. 85)

Найти все а, при которых уравнение имеет единственное решение.

cos2(ax) + cosx = 2(cos(ax) + cosx - 1)


При решении задач с такой формулировкой обычно хорошо работает приём:

--- Замечаем, что все слагаемые уравнения чётны относительно х.
--- Это значит, что если (t) корень уравнения, то (-t) тоже корень.
--- Т.к. решение должно быть единственным, то это решение 0.
--- Находим значения а, при которых число 0 является корнем.
--- Проверяем, есть ли при найденных а ещё и другие корни.

Приём хорош тем, что отсекает сразу почти все значения параметра а,
оставляя пару-тройку претендентов, которые подвергаются проверке.
В нашем случае приём не работает. 0 - корень уравнения при всех а.

========================================

Пойдём тогда другим путём - просто начнём решать данное уравнение:

cos2(ax) + cosx = 2(cos(ax) + cosx - 1)

cos2(ax) - 2cos(аx) = cosx - 2

cos2(ax) - 2cos(аx) + 1 = cosx - 1

(cos(аx) - 1)2 = cosx - 1

Левая часть неотрицательна, значит, такой же должна быть и правая.
Но положительной правая быть не может (cosx ≥ 1), значит, справа 0.
Тогда и левая часть равна нулю, т.е. обе части принимают значение 0.

                        

Чтобы система имела решения, должно выполняться равенство:





Число 0 является корнем при любых значениях а. Рассмотрим n ≠ 0.
Наша цель сейчас - найти все корни уравнения (в т.ч. ненулевые).



Найденное значение а является рациональным, т.к. m и n - целые числа.
При этом значении параметра исходное уравнение имеет серию корней



При всех остальных а, т.е. иррациональных, уравнение имеет
единственный корень х = 0.

Ответ: а - иррациональное

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 6098

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): училка
Дата: 2014-10-06

огромное спасибо. Не сразу догадалась про иррационалные числа

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика