Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

16(C4). Прямая p параллельна основаниям BC и AD трапеции ABCD (вар. 88)

Прямая p, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает прямые
AB, AC, BD и CD в точках E, F, G и H соответственно, причём EF = FG.
а) Докажите, что точки пересечения прямой p с диагоналями AC и BD
делят отрезок EН на три равных части;
б) Найдите EF, если BC = 3, AD = 4.

Прямая p параллельна основаниям BC и AD трапеции ABCD (вар. 88)

Отрезки EF и FG равны по условию. Интересно, что отрезки EF и GН тоже равны.

Почему? Всё очень просто следует из подобия треугольников.
1) ΔEAF и ΔBAC подобны

Прямая p параллельна основаниям BC и AD трапеции ABCD (вар. 88)

EF : BC = AE : AB

2) ΔEBG и ΔABD подобны

AE : AB = DG : DB

3) ΔDGH и ΔDBC подобны

DG : DB = GH : BC

Отсюда EF : BC = GH : BC и значит, EF = GH
Таким образом, пункт а) доказан. EF = FG = GH

===========================================

Неизвестный отрезок найдём, тоже используя подобие треугольников.
1) ΔEAF и ΔBAC подобны

18(C4). Прямая p параллельна основаниям BC и AD трапеции ABCD (вар. 88)

$\frac{x}{3}=\frac{b}{a+b}$

2) ΔEBG и ΔABD подобны

$\frac{2x}{4}=\frac{a}{a+b}$

Сложим получившиеся равенства:

$\frac{x}{3}+\frac{x}{2}=\frac{b}{a+b}+\frac{a}{a+b}$

$\frac{5x}{6}=1$

$x=\frac{6}{5}$

Ответ: 1,2