Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

15(C3). Логарифмическое неравенство методом мажорант (вар. 96)

Решите неравенство:

$\sqrt{1-log_{5}{(x^2-2x+2)}}<\frac{1}{2}log_{\sqrt{5}}{(5x^2-10x+10)}$

Конструкция неравенства наводит на мысль о методе оценки (мажорант):

${x^2-2x+2=(x-1)^2+1}\geq{1}$

${log_{5}{(x^2-2x+2)}}\geq{log_{5}{1}=0$

${1-log_{5}{(x^2-2x+2)}}\leq{1}$

${\sqrt{1-log_{5}{(x^2-2x+2)}}}\leq{1}$

Последнее неравенство выполняется лишь при условии, что под знаком корня
выражение неотрицательно. Обязательно решим неравенство:

${1-log_{5}{(x^2-2x+2)}}\geq{0}$

${log_{5}{(x^2-2x+2)}}\leq{1}$

${x^2-2x+2}\leq{5}$

${-1}\leq{x}\leq{3}$

При таких значениях х левая часть неравенства не больше единицы.
Оценим теперь и правую часть неравенства:

$5x^2-10x+10=5(x^2-2x+2)=5((x-1)^2+1)\geq{5}$

${log_{\sqrt{5}}{(5x^2-10x+10)}}\geq{log_{\sqrt{5}}{5}}=2$

${\frac{1}{2}log_{\sqrt{5}}{(5x^2-10x+10)}}\geq{{\frac{1}{2}}\cdot{2}}=1$

Итак, правая часть при тех же значениях х не меньше единицы. Неравенство
выполняется при всех найденных значениях х, кроме 1. Почему? Дело в том,
что неравенство строгое. Нельзя допустить, чтобы обе части превратились
в единицу одновременно.

Ответ: [-1; 1); (1; 3]