Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

15(C3). Логарифмическое неравенство с разными основаниями (вар. 97)

Решите неравенство: ${log_{3}{(x+6)}}\leq{{(1-log_{9x}{(6-x)})}\cdot{log_{3}{(9x)}}}$

Справа раскроем скобки, перемножая логарифмы. Воспользуемся его свойствами:

${log_{a}{b}}\cdot{log_{c}{a}}={\frac{lgb}{lga}}\cdot{\frac{lga}{lgc}}=\frac{lgb}{lgc}=log_{c}{b}$

При этом основание а перестаёт быть основанием и пропадает совсем.
Это нарушает равносильность. Обязательно требуем: а > 0, а ≠ 1.
Заодно найдём и область определения исходного неравенства:

$0<x<\frac{1}{9}$ , $\frac{1}{9}<x<6$

На области определения преобразуем неравенство:

${log_{3}{(x+6)}}\leq{log_{3}{(9x)}-log_{3}{(6-x)}}$

${log_{3}{(x+6)}+log_{3}{(6-x)}}\leq{log_{3}{(9x)}}$

${log_{3}{(36-x^2)}}\leq{log_{3}{(9x)}}$

${36-x^2}\leq{9x}$

${x^2+9x-36}\geq{0}$

${x}\leq{-12}$ , ${x}\geq{3}$

С учётом области определения получаем:

${3}\leq{x}<6$

Ответ: [3; 6)