Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

18(C5). Найти все значения а, при которых система уравнений имеет решения (вар. 97)

Найти все значения а, при которых система уравнений имеет решения

$\left\{ \begin{array}{lcl} x^2+y^2=a^2 \\ xy(2x^2-a^2) & = & 1 \\ \end{array} \right$

Подставив во второе уравнение значение а² из первого, получим:

$\left\{ \begin{array}{lcl} x^2+y^2=a^2 \\ xy(x^2-y^2) & = & 1 \\ \end{array} \right$

При а = 0 система решений не имеет. При а ≠ 0 первое уравнение задаёт
окружность с центром (0; 0) и радиусом |a|. Каждая точка окружности
имеет координаты (|a|cosα; |a|sinα), где 0 < α < 2π.

Найти все значения а, при которых система уравнений имеет решения (вар. 97)

Таким образом, мы ввели замену переменных x и y (х = |a|cosα, y = |a|sinα).

При этом второе уравнение будет выглядеть так:

$xy(x^2-y^2)=1$

$a^2sin{\alpha}cos{\alpha}(a^2cos^2{\alpha}-a^2sin^2{\alpha})=1$

$a^2sin{\alpha}cos{\alpha}(a^2cos2{\alpha})=1$

$a^2(2sin{\alpha}cos{\alpha})(a^2cos2{\alpha})=2$

$a^2(sin2{\alpha})(a^2cos2{\alpha})=2$

$a^4sin2{\alpha}cos2{\alpha}=2$

$a^4(2sin2{\alpha}cos2{\alpha})=4$

$a^4sin4{\alpha}=4$

$sin4{\alpha}=\frac{4}{a^4}$

Данное уравнение имеет решения только в случае, если

${\frac{4}{a^4}}\leq{1}$

${\frac{2}{a^2}}\leq{1}$

$a^2\geq2$

${|a|}\geq{\sqrt{2}}$