Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

15(C3). Иррациональное логарифмическое неравенство (вар. 100)

Решите неравенство:

${log_{x}{\frac{100}{x}}}\leq{\sqrt{log_{x}{(100x^5)}}}$

Учитывая, что х положительно и отлично от единицы, перепишем неравенство:

${log_{x}{100}-1}\leq{\sqrt{log_{x}{100}+5}}$

Сделав очевидную замену log_x100 = t, получим:

${t-1}\leq{\sqrt{t+5}}$

И вновь сделаем замену:

$\sqrt{t+5}=p$ , ${p}\geq{0}$

$t+5=p^2$

$t=p^2-5$

Перепишем неравенство снова:

${p^2-6}\leq{p}$

${p^2-p-6}\leq{0}$

${-2}\leq{p}\leq{3}$

Возвращаясь к заменам, имеем:

${\sqrt{t+5}}\leq{3}$

${0}\leq{t+5}\leq{9}$

${-5}\leq{t}\leq{4}$

======================================

${-5}\leq{log_{x}{100}}\leq{4}$

${log_{x}{x^{-5}}}\leq{log_{x}{100}}\leq{log_{x}{x^4}}$

Рассмотрим два случая:

======================================

1) х > 1.

$\left\{ \begin{array}{lcl} x^{-5}\leq{100} \\ x^4\geq{100} \\ \end{array} \right$

$\left\{ \begin{array}{lcl} x^5\geq{\frac{1}{100}} \\ {x^2}\geq{10 \\ \end{array} \right$

Первое неравенство верно всегда при х > 1.

Получаем ${x}\geq{\sqrt{10}}$ .

======================================

2) 0 < x < 1.

$\left\{ \begin{array}{lcl} x^{-5}\geq{100} \\ x^4\leq{100} \\ \end{array} \right$

$\left\{ \begin{array}{lcl} x^{5}\leq{\frac{1}{100}} \\ x^2\leq{10} \\ \end{array} \right$

Второе неравенство верно всегда при 0 < x < 1.
Из первого получаем:

$0<{x}\leq{\sqrt[5]{0,01}}$

Ответ: $0<{x}\leq{\sqrt[5]{0,01}}$ ${x}\geq{\sqrt{10}}$