Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

15(C3). Сумасшедшее логарифмическое неравенство (вар. 102)

Решите неравенство

${log_{3}{(x^2-4x+5)}}\leq{\frac{2x}{log_{x^2-4x+5}{(9^x+3^x-12)}}}$

Что можно сказать о выражении, находящемся под первым логарифмом?

$x^2-4x+5={(x-2)^2+1}\geq{1}$

С другой стороны, оно же находится в основании второго логарифма,
а значит, не имеет права быть равным единице. Следовательно,

$x^2-4x+5>1$

Обозначим это выражение буквой а. И заодно пусть 3^х=t, t > 0.

${log_{3}{a}}\leq{\frac{2x}{log_{a}{(t^2+t-12)}}}$

$\frac{{log_{3}{a}}\cdot{log_{a}{(t^2+t-12)}}-2x}{log_{a}{(t^2+t-12)}}\leq{0}$

$\frac{{log_{3}{(t^2+t-12)}}-2x}{log_{a}{(t^2+t-12)}}\leq{0}$

$\frac{{log_{3}{(t^2+t-12)}}-{2x}\cdot{log_{3}{3}}}{log_{a}{(t^2+t-12)}-0}\leq{0}$

$\frac{{log_{3}{(t^2+t-12)}}-{log_{3}{3^{2x}}}}{log_{a}{(t^2+t-12)}-log_{a}{1}}\leq{0}$

$\frac{{log_{3}{(t^2+t-12)}}-{log_{3}{t^2}}}{log_{a}{(t^2+t-12)}-log_{a}{1}}\leq{0}$

Оба основания логарифма строго больше единицы. Это значит,
что при допустимых значениях переменной t знак числителя

$log_{3}{(t^2+t-12)}-log_{3}{t^2}$

совпадает со знаком выражения

$(t^2+t-12)-t^2$

Знак знаменателя

$log_{a}{(t^2+t-12)}-log_{a}{1}$

совпадает со знаком выражения

$(t^2+t-12)-1$

И всё неравенство равносильно неравенству

${\frac{(t^2+t-12)-t^2}{(t^2+t-12)-1}}\leq{0}$

${\frac{t-12}{t^2+t-13}}\leq{0}$

Учитывая, что t - положительное число, получаем полуинтервал

${\frac{\sqrt{53}-1}{2}}<t\leq12$

Но не всё так просто. 1) Так как а ≠ 1, то х ≠ 2, а значит, t ≠ 9.

2) Второе выражение под логарифмом должно быть положительным:

$t^2+t-12>0$

$(t-3)(t+4)>0$

$t-3>0$

$t>3$

Левый конец полуинтервала, к счастью, больше трёх (проверьте).
Ну а точку t = 9 из интервала придётся исключить.

${\frac{\sqrt{53}-1}{2}}<t<9$ $9<t\leq12$

Осталось перейти к переменной x и учесть, что 3 > 1.

$log_{3}{\frac{\sqrt{53}-1}{2}}<x<log_{3}{9}$ $log_{3}{9}<x\leq{log_{3}{12}}$

$log_{3}{\frac{\sqrt{53}-1}{2}}<x<2$ $2<x\leq1+2log_{3}{2}$