Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020 Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников |
|
16(C4). В равнобедренной трапеции АВСD точки М и N – середины оснований (вар. 103)
Комментарии к этой задаче: Комментарий добавил(а): Александр Четырёхугольник РМКN состоит треугольников NMP и NMP, пункт а) доказан. Комментарий добавил(а): Артур Объясните, почему площадь треугольников BPA и MPN равна 36x ? Комментарий добавил(а): алиса ошибка: площади треугольников относятся 16:81 Добавить Ваш комментарий: |
Разрежем трапецию по прямой MN и рассмотрим две новые трапеции:
Площади треугольников ABN и AMN равны, т.к. у них равны основания и высоты.Если из каждой площади вычесть площадь их общей части (треугольника APN),то мы получим, что площади цветных треугольников АВР и NMP тоже равны.
Аналогичные рассуждения проведём и для пары треугольников NMK и DCK.
Четырёхугольник РМКN состоит треугольников NMP и NMP, пункт а) доказан.
!!! положение точек M и N на основаниях трапеции значения пока не имело.=============================================
Теперь учтём, что М и N – середины оснований. Тогда MN - ось симметрии трапеции.
Рассмотрим прямоугольную трапецию АВMN, по данным задачи найдём её высоту 12.
Треугольники ВРМ и NРА подобны, их соответствующие стороны относятся как 4:9.
Значит, площади этих треугольников относятся как 16:25, обозначим их 16х и 25х.
Треугольники МВР и АВР имеют общую высоту, их площади относятся как основания, т.е. 4:9. Значит, площадь АВР равна 36х. Треугольник PMN имеет такую же площадь.
Площадь прямоуг. треугольника AMN равна 0,5·9·12 = 54. Она же равна 117х.
