Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

15(C3). Сумму корней обозначим буквой t (вар. 108)

Решите неравенство:

$\frac{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-3}-3x+10}{\sqrt{2x^2-7x+3}}>2$

Заметим, что (2x - 1)(x - 3) = 2x² - 7x + 3. Данное неравенство определено,
если каждое подкоренное выражение числителя положительно, т.е. х > 3.
При этих х умножим неравенство на строго положительный знаменатель.

${\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-3}-3x+10}>2\sqrt{2x^2-7x+3}$

${\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-3}}>2\sqrt{2x^2-7x+3}+3x-10$

Обозначим сумму корней буквой t, t ≥ 0. Возведём равенство в квадрат:

$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-3}=t$

$(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-3})^2=t^2$

$(2x-1)+(x-3)+2\sqrt{2x^2-7x+3}=t^2$

$3x-4+2\sqrt{2x^2-7x+3}=t^2$

$3x-10+2\sqrt{2x^2-7x+3}=t^2-6$

Перепишем теперь данное неравенство относительно t:

$t>t^2-6$

$t^2-t-6<0$

$-2<t<3$

Учитывая, что t положительно, получим неравенство:

$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-3}<3$

$(2x-1)+(x-3)+2\sqrt{2x^2-7x+3}<9$

$2\sqrt{2x^2-7x+3}<13-3x$

Потребуем, чтобы правая часть была неотрицательна.
При 3 < х ≤ 13/3 неравенство равносильно такому:

$(2\sqrt{2x^2-7x+3})^2<(13-3x)^2$

$4(2x^2-7x+3)<9x^2-78x+169$

$x^2-50x+157>0$

С учётом ограничений на переменную х получим:

$3<x<25-6\sqrt{13}$