Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

14(C2). В правильной четырехугольной пирамиде РАВСD высота в полтора раза ... (вар. 140)

В правильной четырехугольной пирамиде РАВСD высота РО в полтора раза
больше, чем сторона основания.
а) Докажите, что через точку О можно провести такой отрезок КМ
с концами на сторонах AD и ВС соответственно, что сечение РКМ
пирамиды будет равновелико основанию пирамиды.
б) Найдите отношение площади полной поверхности пирамиды РАВМК
к площади полной поверхности пирамиды РАВСD.

В правильной четырехугольной пирамиде РАВСD высота в полтора раза ... (вар. 140)

Возьмём точку М на стороне ВС основания пирамиды и проведём луч МО
до пересечения со стороной АD в точке К. Найдём длину отрезка МК.

$S_{PKM}={\frac{1}{2}}\cdot{KM}\cdot{PO}={\frac{1}{2}}\cdot{KM}\cdot{\frac{3}{2}{a}}$

Воспользуемся тем, что площадь сечения РКМ равна площади основания.

$\frac{1}{2}\cdot{KM}\cdot{\frac{3}{2}{a}=a^2$

$a=\frac{3}{4}\cdot{KM}$

$KM = \frac{4}{3}{a}$

Т.к. длина отрезка КМ больше стороны квадрата, но меньше его диагонали,
то такой отрезок с концами на противоп. сторонах основания существует.

Для поиска площади боковой грани пирамиды PАВСD нужна апофема.

14(C2). В правильной четырехугольной пирамиде РАВСD высота в полтора раза ... (вар. 140)

${PF}=\sqrt{OF^2+OP^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{9a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}$

Найдём теперь площадь боковой грани:

$S_{bok.gr.}=\frac{1}{2}\cdot{a}\cdot{\frac{a\sqrt{10}}{2}}=\frac{a^2\sqrt{10}}{4}$

Из чего состоит полная поверхность S₁ пирамиды РАВМК?

14(C2). В правильной четырехугольной пирамиде РАВСD высота в полтора раза ... (вар. 140)

- из площади её основания АКМВ (половина площади квадрата);
- из площади сечения РКМ (по условию равна площади квадрата);
- из суммы площадей граней РМВ и РАК (а это площадь СРВ);
- из площади грани АРВ (тоже просто боковая грань).

$S_1=\frac{1}{2}\cdot{S_{osn.}}+S_{osn.}+S_{bok.gr.}+S_{bok.gr.}=1,5\cdot{S_{osn.}}+2\cdot{S_{bok.gr.}}$

$S_1=\frac{3a^2}{2}+\frac{a^2\sqrt{10}}{2}$

Из чего состоит полная поверхность S₂ пирамиды РАВCD?

- из площади квадрата - основания пирамиды;
- из четырёх площадей боковых граней.

$S_2=S_{osn.}+4\cdot{S_{bok.gr.}}=a^2+a^2\sqrt{10}$

Найдём отношение площадей (его можно и не упрощать):

$\frac{S_1}{S_2}=\frac{1,5+0,5\sqrt{10}}{1+\sqrt{10}}=\frac{3+\sqrt{10}}{2+2\sqrt{10}}$

Если умножить числитель и знаменатель на сопряжённое числителю, то

$\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{14-4\sqrt{10}}$