Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

15(C3). Показательно-логарифмическое неравенство (вар. 141)

Решите неравенство

$log_{x}{(log_{2}{(4^x-6)})}\leq{1}$

В данном неравенстве не определено основание внешнего логарифма. Но!
Так как внутренний логарифм определён только при 4^х > 6, то x > 1.
И это значит, что исходное неравенство равносильно системе неравенств:

$\left\{ \begin{array}{lcl} log_{2}{(4^x-6)}\leq{x} \\ log_{2}{(4^x-6)}>0 \\ \end{array} \right$ $\left\{ \begin{array}{lcl} {4^x-6}\leq{2^x} \\ {4^x-6}>1 \\ \end{array} \right$

Введём замену t = 2^x, t > 0

$\left\{\begin{array}{lcl} {t^2-6}\leq{t} \\ {t^2-6}>1 \\ \end{array}$ $\left\{\begin{array}{lcl} {t^2-t-6}\leq{0} \\ {t^2-7}>0 \\ \end{array}$ $\left\{\begin{array}{lcl} {(t-3)(t+2)}\leq{0} \\ {(t-\sqrt{7})(t+\sqrt{7})}>0 \\ \end{array}$ $\left\{\begin{array}{lcl} {t-3}\leq{0} \\ {t-\sqrt{7}}>0 \\ \end{array}$

В итоге получаем, что √7 < t ≤ 3

Возвращаемся к замене и решаем двойное неравенство:

${\sqrt{7}}<{2^x}\leq3$

${log_{2}{\sqrt{7}}}<{x}\leq{log_{2}{3}}$

${0,5log_{2}{7}}<{x}\leq{log_{2}{3}}$

Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 3105

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

Комментарии к этой задаче:

Добавить Ваш комментарий:

Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020 Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников