Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Найти все значения параметра а, при которых функция



убывает на всей области определения.

Будем действовать честно. Просто найдём производную данной функции f(x).
Проверим, будет ли она отрицательной на R при каком-нибудь значении а.

Как искать производную? Можно прямо по правилам дифференцирования.
А можно заметить, что функция f(x) сложная. f(x) = f(g(x)).

f(g) = 2ag³ - 3g³ - 6(a + 1)g, где



Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.



Найдём производную функции f по переменной g.



Подставим вместо g выражение от х. И умножим всё на g'(x).





Знаменатель всегда положителен, знак производной зависит от трёх
множителей числителя. Две критические точки очевидны. Это 1 и -1.

Точка х = 1 ни при каком а не является корнем третьего множителя.
Значит, в точке 1 обязательно произойдёт смена знака производной.

А это значит, что в точке 1 происходит смена монотонности функции.
Таким образом, функция f(x) ни при каких а не убывает на D(f) = R.

=========================================

Интересно порассуждать и дальше, хотя задача уже решена.
Точка -1 является корнем третьего множителя при а = -0,5.
При этом а третий множитель превращается в 0,5(x + 1)²
Производная при а = -0,5 превращается в такую:



А это значит, что и в точке -1 происходит смена монотонности.

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 7674