Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

15(C3). Равносильные преобразования логарифмического неравенства (вар. 146)

Решите неравенство

$\frac{1}{2}log_{x-1}{(x^2-8x+16)}+log_{4-x}{(-x^2+5x-4)}>3$

Преобразуем для начала подлогарифмические квадратные трёхчлены. При этом
заметим, что у нас два действующих лица, и оба положительны: (х - 1) и (4 - х).

Равносильные преобразования логарифмического неравенства (вар. 146)

Обозначив эти выражения буквами а и b (a > 0, b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1), получим:

$0,5log_{a}{b^2}+log_{b}{(ab)}>3$

$log_{a}{b}+log_{b}{a}+1>3$

$log_{a}{b}+log_{b}{a}>2$

Два слагаемых в левой части взаимно обратны. Обозначим первое буквой t.

$t+\frac{1}{t}>2$

$\frac{(t-1)^2}{t}>0$

Решением неравенства являются положительные t, отличные от единицы.

Потребуем сначала, чтобы t было положительным:

$log_{x-1}{4-x}>0$

На области определения (1; 2), (2; 3), (3; 4) неравенство равносильно:

$(x-1-1)(4-x-1)>0$

$(x-2)(x-3)<0$

$2<x<3$

Интервал входит в область определения целиком, поэтому нас устраивает.

Потребуем теперь, чтобы t было отлично от 1.

log_x-1(4 - x) ≠ 1

x - 1 ≠ 4 - x

x ≠ 2,5

Ответ: (2; 2,5), (2,5; 3)