18(C5). Система из трёх уравнений с тремя неизвестными (вар. 148)
Найдите все значения параметра а, при которых система уравненийимеет хотя бы одно решение.
Первые ограничения на параметр а следуют из второго уравнения
Рассмотрим третье уравнение, преобразуем его:
Учтём ограничения на z: z > 0, z ≠ 1.
Теперь ограничения на а выглядят так:
Рассмотрим второе уравнение, преобразуем его:
Потребуем, чтобы хоть одна из частей уравнения была положительной.
Выразим из уравнения cosx и подставим в первое уравнение:
При поставленных ограничениях коэффициент при siny положителен.
Чтобы уравнение имело решения и siny был положителен, потребуем
Левая часть неравенства при жёлтых ограничениях выполняется.
Правую часть неравенства при положительных частях перевернём:
Окончательные ограничения на а выглядят так:
Заметим, что если существует siny, то существует и cosx.
имеет хотя бы одно решение.
Первые ограничения на параметр а следуют из второго уравнения
Рассмотрим третье уравнение, преобразуем его:
Рассмотрим второе уравнение, преобразуем его:
Выразим из уравнения cosx и подставим в первое уравнение:
Заметим, что если существует siny, то существует и cosx.
